Basis Elektriciteit 4. Wet van Gauss (Mei 2024)
Carl Friedrich Gauss, oorspronkelijke naam Johann Friedrich Carl Gauss, (geboren 30 april 1777, Brunswick [Duitsland] - overleden 23 februari 1855, Göttingen, Hannover), Duitse wiskundige, algemeen beschouwd als een van de grootste wiskundigen aller tijden bijdragen aan getaltheorie, meetkunde, waarschijnlijkheidstheorie, geodesie, planetaire astronomie, de theorie van functies en potentiële theorie (inclusief elektromagnetisme).
Top vragen
Waarom is Carl Friedrich Gauss beroemd?
Gauss wordt algemeen beschouwd als een van de grootste wiskundigen aller tijden vanwege zijn bijdragen aan de getaltheorie, geometrie, waarschijnlijkheidstheorie, geodesie, planetaire astronomie, de theorie van functies en potentiële theorie (inclusief elektromagnetisme).
Hoe was de kinderjaren van Carl Friedrich Gauss?
Gauss was het enige kind van arme ouders. Hij was een berekenend wonderkind met een talent voor talen. Zijn leraren en zijn toegewijde moeder raadden hem in 1791 aan bij de hertog van Brunswick, die hem financiële steun verleende om zijn opleiding lokaal voort te zetten en vervolgens wiskunde te studeren aan de universiteit van Göttingen.
Welke prijzen heeft Carl Friedrich Gauss gewonnen?
Gauss won de Copley-medaille, de meest prestigieuze wetenschappelijke prijs in het Verenigd Koninkrijk, die in 1838 jaarlijks door de Royal Society of London wordt uitgereikt 'voor zijn uitvindingen en wiskundige onderzoeken naar magnetisme'. Voor zijn studie van hoekbehoudende kaarten ontving hij in 1823 de prijs van de Deense Academie van Wetenschappen.
Hoe was Carl Friedrich Gauss van invloed?
Gauss schreef het eerste systematische leerboek over de algebraïsche getaltheorie en herontdekte de asteroïde Ceres. Hij publiceerde werken over getaltheorie, de wiskundige theorie van kaartconstructie en vele andere onderwerpen. Na Gauss 'dood in 1855 breidde de ontdekking van vele nieuwe ideeën onder zijn ongepubliceerde artikelen zijn invloed uit tot de rest van de eeuw.
Gauss was het enige kind van arme ouders. Hij was zeldzaam onder wiskundigen omdat hij een berekenend wonderkind was, en hij behield het vermogen om het grootste deel van zijn leven uitgebreide berekeningen in zijn hoofd te maken. Onder de indruk van dit vermogen en van zijn talent voor talen, bevalen zijn leraren en zijn toegewijde moeder hem in 1791 aan bij de hertog van Brunswick, die hem financiële steun verleende om zijn opleiding lokaal voort te zetten en vervolgens van 1795 wiskunde te studeren aan de Universiteit van Göttingen tot 1798. Het baanbrekende werk van Gauss vestigde hem geleidelijk aan als de meest vooraanstaande wiskundige van het tijdperk, eerst in de Duitstalige wereld en daarna verder weg, hoewel hij een afgelegen en afstandelijke figuur bleef.
De eerste belangrijke ontdekking van Gauss, in 1792, was dat een regelmatige veelhoek van 17 zijden alleen met een liniaal en een kompas kan worden geconstrueerd. De betekenis ervan ligt niet in het resultaat, maar in het bewijs, dat berustte op een diepgaande analyse van de ontbinding van veeltermvergelijkingen en de deur opende voor latere ideeën over de Galois-theorie. Zijn proefschrift uit 1797 leverde een bewijs van de fundamentele stelling van algebra: elke polynoomvergelijking met reële of complexe coëfficiënten heeft evenveel wortels (oplossingen) als de mate (de hoogste macht van de variabele). Het bewijs van Gauss, hoewel niet geheel overtuigend, was opmerkelijk vanwege zijn kritiek op eerdere pogingen. Gauss leverde later nog drie bewijzen van dit belangrijke resultaat, de laatste op de 50e verjaardag van de eerste, waaruit het belang blijkt dat hij aan het onderwerp hechtte.
De erkenning van Gauss als een werkelijk opmerkelijk talent was echter het resultaat van twee belangrijke publicaties in 1801. Het belangrijkste was zijn publicatie van het eerste systematische leerboek over de algebraïsche getaltheorie, Disquisitiones Arithmeticae. Dit boek begint met het eerste verslag van modulaire rekenkunde, geeft een grondig overzicht van de oplossingen van kwadratische polynomen in twee variabelen in gehele getallen en eindigt met de hierboven genoemde theorie van ontbinding. Deze keuze van onderwerpen en de natuurlijke veralgemeningen ervan bepaalden de agenda in de getaltheorie gedurende een groot deel van de 19e eeuw, en Gauss's voortdurende interesse in het onderwerp leidde tot veel onderzoek, vooral bij Duitse universiteiten.
De tweede publicatie was zijn herontdekking van de asteroïde Ceres. Zijn oorspronkelijke ontdekking, door de Italiaanse astronoom Giuseppe Piazzi in 1800, had een sensatie veroorzaakt, maar verdween achter de zon voordat er voldoende waarnemingen konden worden gedaan om zijn baan met voldoende nauwkeurigheid te berekenen om te weten waar hij weer zou verschijnen. Veel astronomen streden om de eer om het opnieuw te vinden, maar Gauss won. Zijn succes berustte op een nieuwe methode voor het omgaan met fouten in waarnemingen, tegenwoordig de methode van de kleinste kwadraten genoemd. Daarna werkte Gauss vele jaren als astronoom en publiceerde hij een belangrijk werk over de berekening van banen - de numerieke kant van dergelijk werk was voor hem veel minder belastend dan voor de meeste mensen. Als intens loyaal onderdaan van de hertog van Brunswick en, na 1807 als astronoom terug te keren naar Göttingen, van de hertog van Hannover, vond Gauss het werk maatschappelijk waardevol.
Vergelijkbare motieven brachten Gauss ertoe de uitdaging aan te gaan om het grondgebied van Hannover te onderzoeken, en hij was vaak in het veld die de leiding had over de waarnemingen. Het project, dat duurde van 1818 tot 1832, ondervond veel moeilijkheden, maar leidde tot een aantal vorderingen. Een daarvan was Gauss 'uitvinding van de heliotroop (een instrument dat de zonnestralen weerkaatst in een gefocusseerde straal die vanaf enkele kilometers afstand kan worden waargenomen), wat de nauwkeurigheid van de waarnemingen verbeterde. Een andere was zijn ontdekking van een manier om het concept van de kromming van een oppervlak te formuleren. Gauss toonde aan dat er een intrinsieke maat voor kromming is die niet verandert als het oppervlak wordt gebogen zonder uitgerekt te worden. Zo hebben een ronde cilinder en een vlak vel papier dezelfde intrinsieke kromming, daarom kunnen exacte kopieën van figuren op de cilinder op het papier worden gemaakt (zoals bijvoorbeeld bij het printen). Maar een bol en een vliegtuig hebben verschillende krommingen, daarom kan er geen volledig nauwkeurige vlakke kaart van de aarde worden gemaakt.
Gauss publiceerde werken over getaltheorie, de wiskundige theorie van kaartconstructie en vele andere onderwerpen. In de jaren 1830 raakte hij geïnteresseerd in aardmagnetisme en nam hij deel aan het eerste wereldwijde onderzoek naar het magnetische veld van de aarde (om het te meten, vond hij de magnetometer uit). Met zijn Göttingen-collega, de natuurkundige Wilhelm Weber, maakte hij de eerste elektrische telegraaf, maar een zeker parochialisme belette hem om de uitvinding energiek na te jagen. In plaats daarvan haalde hij uit dit werk belangrijke wiskundige consequenties voor wat tegenwoordig potentiële theorie wordt genoemd, een belangrijke tak van de wiskundige fysica die ontstaat in de studie van elektromagnetisme en gravitatie.
Gauss schreef ook over cartografie, de theorie van kaartprojecties. Voor zijn studie van hoekbehoudende kaarten ontving hij in 1823 de prijs van de Deense Academie van Wetenschappen. Dit werk kwam in de buurt van de suggestie dat complexe functies van een complexe variabele over het algemeen hoekbehoudend zijn, maar Gauss stopte met het maken van die fundamentele inzicht expliciet, het overlatend aan Bernhard Riemann, die een diepe waardering had voor het werk van Gauss. Gauss had ook andere niet-gepubliceerde inzichten in de aard van complexe functies en hun integralen, waarvan hij sommige aan vrienden onthulde.
In feite hield Gauss vaak de publicatie van zijn ontdekkingen achter. Als student aan Göttingen begon hij te twijfelen aan de a priori waarheid van de Euclidische meetkunde en vermoedde dat de waarheid empirisch zou kunnen zijn. Om dit te kunnen doen, moet er een alternatieve geometrische beschrijving van de ruimte bestaan. In plaats van een dergelijke beschrijving te publiceren, beperkte Gauss zich tot het bekritiseren van verschillende a priori verdedigingen van de Euclidische meetkunde. Het lijkt erop dat hij er geleidelijk van overtuigd was dat er een logisch alternatief bestaat voor de Euclidische meetkunde. Maar toen de Hongaar János Bolyai en de Rus Nikolay Lobachevsky rond 1830 hun verslagen over een nieuwe, niet-euclidische meetkunde publiceerden, slaagde Gauss er niet in een coherent verslag te geven van zijn eigen ideeën. Het is mogelijk om deze ideeën samen te brengen tot een indrukwekkend geheel, waarin zijn concept van intrinsieke kromming een centrale rol speelt, maar dat heeft Gauss nooit gedaan. Sommigen hebben dit falen toegeschreven aan zijn aangeboren conservatisme, anderen aan zijn onophoudelijke inventiviteit die hem altijd naar het volgende nieuwe idee leidde, weer anderen aan zijn falen om een centraal idee te vinden dat de geometrie zou beheersen zodra de Euclidische meetkunde niet langer uniek was. Al deze verklaringen hebben enige verdienste, hoewel geen ervan genoeg is om de hele verklaring te zijn.
Een ander onderwerp waarover Gauss zijn ideeën grotendeels voor zijn tijdgenoten verborgen hield, waren elliptische functies. Hij publiceerde in 1812 een verslag van een interessante oneindige reeks en hij schreef maar publiceerde geen verslag van de differentiaalvergelijking waaraan de oneindige reeks voldoet. Hij liet zien dat de serie, de hypergeometrische serie genoemd, kan worden gebruikt om veel bekende en veel nieuwe functies te definiëren. Maar tegen die tijd wist hij hoe hij de differentiaalvergelijking kon gebruiken om een zeer algemene theorie van elliptische functies te produceren en de theorie volledig te bevrijden van haar oorsprong in de theorie van elliptische integralen. Dit was een grote doorbraak, omdat, zoals Gauss in de jaren 1790 had ontdekt, de theorie van elliptische functies ze natuurlijk behandelt als complex gewaardeerde functies van een complexe variabele, maar de hedendaagse theorie van complexe integralen volstrekt ontoereikend was voor de taak. Toen een deel van deze theorie rond 1830 werd gepubliceerd door de Noor Niels Abel en de Duitser Carl Jacobi, zei Gauss tegen een vriend dat Abel een derde van de weg was ingeslagen. Dit klopte, maar het is een trieste maatstaf voor Gauss 'persoonlijkheid in die zin dat hij publicatie nog steeds niet hield.
Gauss leverde ook minder op andere manieren dan hij zou kunnen hebben. De universiteit van Göttingen was klein en hij wilde niet vergroten of extra studenten binnenhalen. Tegen het einde van zijn leven trokken wiskundigen van het kaliber Richard Dedekind en Riemann door Göttingen, en hij was behulpzaam, maar tijdgenoten vergeleken zijn schrijfstijl met dunne pap: het is duidelijk en stelt hoge eisen aan nauwkeurigheid, maar het mist motivatie en kan traag zijn en dragen om te volgen. Hij correspondeerde met veel, maar niet alle, mensen die onbezonnen genoeg waren om hem te schrijven, maar hij deed weinig om hen in het openbaar te steunen. Een zeldzame uitzondering was toen Lobatsjevski door andere Russen werd aangevallen vanwege zijn ideeën over niet-euclidische meetkunde. Gauss leerde zichzelf genoeg Russisch om de controverse te volgen en stelde Lobatsjevski voor aan de Göttingen Academie van Wetenschappen. Gauss schreef daarentegen een brief aan Bolyai waarin hij hem vertelde dat hij al alles had ontdekt wat Bolyai zojuist had gepubliceerd.
Na Gauss 'dood in 1855 breidde de ontdekking van zoveel nieuwe ideeën onder zijn ongepubliceerde artikelen zijn invloed uit tot ver in de rest van de eeuw. Aanvaarding van niet-euclidische meetkunde kwam niet met het oorspronkelijke werk van Bolyai en Lobachevsky, maar kwam in plaats daarvan met de bijna gelijktijdige publicatie van Riemanns algemene ideeën over meetkunde, de Italiaanse Eugenio Beltrami's expliciete en rigoureuze beschrijving daarvan, en Gauss's privé-aantekeningen en correspondentie.
