Trigonometrie

Principes van trigonometrie

Goniometrische functies

Voor trigonometrie is een iets algemener concept van hoek nodig dan voor geometrie. Een hoek A met hoekpunt bij V, waarvan de beginzijde VP is en de eindzijde VQ, wordt in de figuur aangegeven door de massieve cirkelboog. Deze hoek wordt gegenereerd door de continue rotatie tegen de klok in van een lijnsegment rond het punt V van de positie VP naar de positie VQ. Een tweede hoek A 'met dezelfde begin- en eindzijden, in de figuur aangegeven door de gebroken cirkelboog, wordt gegenereerd door de rotatie van het lijnsegment met de klok mee van positie VP naar positie VQ. Hoeken worden als positief beschouwd als ze worden gegenereerd door rotaties tegen de klok in, negatief als ze worden gegenereerd in rotaties met de klok mee.De positieve hoek A en de negatieve hoek A 'in de figuur worden gegenereerd door minder dan één volledige rotatie van het lijnsegment rond het punt V. Alle andere positieve en negatieve hoeken met dezelfde begin- en eindzijden worden verkregen door het lijnsegment te roteren een of meer complete beurten voordat hij bij VQ tot rust komt.

Numerieke waarden kunnen aan hoeken worden toegewezen door een maateenheid te selecteren. De meest voorkomende eenheden zijn de graad en de radiaal. Er zijn 360 ° in een volledige omwenteling, waarbij elke graad verder is onderverdeeld in 60 ′ (minuten) en elke minuut is verdeeld in 60 ″ (seconden). In theoretisch werk is de radiaal de handigste eenheid. Het is de hoek in het midden van een cirkel die een boog onderschept die even lang is als de straal; Simpel gezegd, er zijn 2π radialen in één complete omwenteling. Uit deze definities volgt dat 1 ° = ^π / ₁₈₀ radialen.

Equal angles are angles with the same measure; i.e., they have the same sign and the same number of degrees. Any angle −A has the same number of degrees as A but is of opposite sign. Its measure, therefore, is the negative of the measure of A. If two angles, A and B, have the initial sides VP and VQ and the terminal sides VQ and VR, respectively, then the angle A + B has the initial and terminal sides VP and VR. The angle A + B is called the sum of the angles A and B, and its relation to A and B when A is positive and B is positive or negative is illustrated in the figure. The sum A + B is the angle the measure of which is the algebraic sum of the measures of A and B. The difference A − B is the sum of A and −B. Thus, all angles coterminal with angle A (i.e., with the same initial and terminal sides as angle A) are given by A ± 360n, in which 360n is an angle of n complete revolutions. The angles (180 − A) and (90 − A) are the supplement and complement of angle A, respectively.

Trigonometric functions of an angle

To define trigonometric functions for any angle A, the angle is placed in position on a rectangular coordinate system with the vertex of A at the origin and the initial side of A along the positive x-axis; r (positive) is the distance from V to any point Q on the terminal side of A, and (x, y) are the rectangular coordinates of Q.

The six functions of A are then defined by six ratios exactly as in the earlier case for the triangle given in the introduction. Because division by zero is not allowed, the tangent and secant are not defined for angles the terminal side of which falls on the y-axis, and the cotangent and cosecant are undefined for angles the terminal side of which falls on the x-axis. When the Pythagorean equality x² + y² = r² is divided in turn by r², x², and y², the three squared relations relating cosine and sine, tangent and secant, cotangent and cosecant are obtained.

Als het punt Q aan de eindzijde van hoek A in standaardpositie coördinaten (x, y) heeft, heeft dit punt coördinaten (x, −y) wanneer het zich aan de eindzijde van −A in standaardpositie bevindt. Uit dit feit en de definities worden verdere identiteiten verkregen voor negatieve hoeken. Deze relaties kunnen ook kort worden vermeld door te zeggen dat cosinus en secant even functies zijn (symmetrisch rond de y-as), terwijl de andere vier oneven functies zijn (symmetrisch over de oorsprong).

Het is duidelijk dat een goniometrische functie voor alle coterminale hoeken dezelfde waarde heeft. Als n een geheel getal is, is sin (A ± 360n) = sin A; er zijn vergelijkbare relaties voor de andere vijf functies. Deze resultaten kunnen worden uitgedrukt door te zeggen dat de goniometrische functies periodiek zijn en een periode van 360 ° of 180 ° hebben.

Als Q aan de eindzijde van A in standaardpositie coördinaten heeft (x, y), heeft het coördinaten (−y, x) en (y, −x) aan de eindzijde van A + 90 en A - 90 in standaardpositie respectievelijk. Bijgevolg stellen zes formules een functie van het complement van A gelijk aan de overeenkomstige cofunctie van A (zie tabel).

Tabellen van natuurlijke functies

To be of practical use, the values of the trigonometric functions must be readily available for any given angle. Various trigonometric identities show that the values of the functions for all angles can readily be found from the values for angles from 0° to 45°. For this reason, it is sufficient to list in a table the values of sine, cosine, and tangent for all angles from 0° to 45° that are integral multiples of some convenient unit (commonly 1′). Before computers rendered them obsolete in the late 20th century, such trigonometry tables were helpful to astronomers, surveyors, and engineers.

For angles that are not integral multiples of the unit, the values of the functions may be interpolated. Because the values of the functions are in general irrational numbers, they are entered in the table as decimals, rounded off at some convenient place. For most purposes, four or five decimal places are sufficient, and tables of this accuracy are common. Simple geometrical facts alone, however, suffice to determine the values of the trigonometric functions for the angles 0°, 30°, 45°, 60°, and 90°. These values are listed in a table for the sine, cosine, and tangent functions.