Vector wiskunde

Vector, in de wiskunde, een grootheid die zowel grootte als richting heeft maar geen positie. Voorbeelden van dergelijke grootheden zijn snelheid en versnelling. In hun moderne vorm verschenen vectoren laat in de 19e eeuw toen Josiah Willard Gibbs en Oliver Heaviside (respectievelijk uit de Verenigde Staten en Groot-Brittannië) onafhankelijk vectoranalyse ontwikkelden om de nieuwe wetten van elektromagnetisme uit te drukken die waren ontdekt door de Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell. Sinds die tijd zijn vectoren essentieel geworden in de natuurkunde, mechanica, elektrotechniek en andere wetenschappen om krachten wiskundig te beschrijven.

lineaire algebra: vectoren en vectorruimten

Lineaire algebra begint meestal met het bestuderen van vectoren, die worden begrepen als grootheden met zowel grootte als richting. Vector s

Vectoren kunnen worden gevisualiseerd als lijnsegmenten waarvan de lengte de grootte is. Omdat alleen de grootte en richting van een vector materie is, kan elk gericht segment worden vervangen door een van dezelfde lengte en richting, maar beginnend op een ander punt, zoals de oorsprong van een coördinatensysteem. Vectoren worden meestal aangegeven met een vetgedrukte letter, zoals v. De grootte of lengte van een vector wordt aangegeven met | v |, of v, die een eendimensionale grootheid (zoals een gewoon getal) vertegenwoordigt die bekend staat als een scalair. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalair verandert de lengte van de vector, maar niet de richting, behalve dat vermenigvuldiging met een negatief getal de richting van de vectorpijl omkeert. Bijvoorbeeld, het vermenigvuldigen van een vector met 1/2 resulteert in een vector die half zo lang is in dezelfde richting, terwijl het vermenigvuldigen van een vector met -2 resulteert in een vector die twee keer zo lang is, maar in de tegenovergestelde richting wijst.

Er kunnen twee vectoren worden opgeteld of afgetrokken. Als u bijvoorbeeld vectoren v en w grafisch wilt optellen of aftrekken (zie het diagram), verplaatst u ze elk naar de oorsprong en voltooit u het parallellogram gevormd door de twee vectoren; v + w is dan één diagonale vector van het parallellogram en v - w is de andere diagonale vector.

Er zijn twee verschillende manieren om twee vectoren samen te vermenigvuldigen. Het kruis- of vectorproduct resulteert in een andere vector die wordt aangeduid met v × w. De grootte van het kruisproduct wordt gegeven door | v × w | = vw sin θ, waarbij θ de kleinere hoek tussen de vectoren is (met hun “staarten” bij elkaar geplaatst). De richting van v × w staat loodrecht op zowel v als w en de richting kan worden gevisualiseerd met de rechterregel, zoals weergegeven in de afbeelding. Het kruisproduct wordt vaak gebruikt om op een bepaald punt een "normaal" (een lijn loodrecht) op een oppervlak te verkrijgen, en het komt voor bij de berekening van het koppel en de magnetische kracht op een bewegend geladen deeltje.

De andere manier om twee vectoren met elkaar te vermenigvuldigen, wordt een puntproduct genoemd, of soms een scalair product omdat het resulteert in een scalair. Het puntproduct wordt gegeven door v ∙ w = vw cos θ, waarbij θ de kleinere hoek tussen de vectoren is. Het puntproduct wordt gebruikt om de hoek tussen twee vectoren te vinden. (Merk op dat het puntproduct nul is wanneer de vectoren loodrecht staan.) Een typische fysieke toepassing is het vinden van het werk W dat wordt uitgevoerd door een constante kracht F die op een bewegend object d werkt; het werk wordt gegeven door W = Fd cos θ.